Μαγέψτε τους φίλους σας με ένα πανέξυπνο τρικ με τράπουλα...

...ή αν είστε γονέας ή καθηγητής κάντε τα παιδιά να ενδιαφερθούν (έστω  στιγμιαία) για τα μαθηματικά.

Θα ανεχτείτε πρώτα μια παρένθεση, για την διδακτική των μαθηματικών. Μην βιάζεστε, θα έρθει και το κόλπο... :)  Και τέλοσπάντων αν είστε τόσο βιαστικοί σκρολάρετε 4 παραγράφους πιο κάτω!

Εισαγωγή

Όταν κάνεις ιδιαίτερα μαθηματικών, πιστεύω θα με καταλάβουν οι συνάδελφοι, υπάρχουν κάποιες μέρες στις οποίες ο πιτσιρικας δεν θέλει να ακούσει άλλη μια λέξη για μαθηματικά. Δεν θέλει βρε παιδί μου! Μπλόκαρε! Και με το δίκιο του δηλαδή, γιατί εδώ που τα λέμε, η διδακτική προσέγγιση των μαθηματικών είναι -τουλάχιστον στα ελαφρά προχωρημένα μαθηματικά του Λυκείου - κάπως "στεγνή". Και, μην παρεξηγηθώ, δεν κατηγορώ τους μελετητές της διδακτικής την μαθηματικών ως άσχετους ή τεμπέληδες. Απλά, αν θες να διδάξεις την συγκεκριμένη ύλη στον συγκεκριμένο χρόνο, η "στεγνή" αυτή προσέγγιση είναι μονόδρομος.

Φαντάζομαι τα παιδιά, τα οποία στο Λύκειο διδάσκονται κάποια προχωρημένα θέματα στα μαθηματικά, όπως μιγαδικούς και απειροστικό λογισμό, σαν εργάτες σε ένα συγκεκριμένο τομέα εργοστασίου που κατασκευάζει εργαλεία (π.χ. 15άρια γερμανικά κλειδιά), χωρίς να έχουν χρησιμοποιήσει ποτέ ένα εργαλείο στη ζωή τους. Σκεφτείτε την ανία που θα σας προκαλούσε αυτό το επάγγελμα. Να δίνεις καθημερινά μια συγκεκριμένη μορφή σε ένα κομμάτι μέταλο, χωρίς να ξέρεις για πιο λόγο το κάνεις αυτό.

Όταν λοιπόν είναι μια από αυτές τις μέρες, που ο μαθητής έχει μουλαρώσει, ο δάσκαλος πρέπει να έχει 5-10 "ταχυδακτυλουργικά" κόλπα κρυμμένα στο μανίκι του για την επαναφορά του ενδιαφέροντος. Και όπως τα μικρά κολπάκια μιας μαμάς "ταίζουν" τα μωρά που αρνούνται το φαγητό, έτσι κι ο δάσκαλος τρέφει πνευματικά τον μαθητή.

Τα περισσότερα "κολπάκια" δεν μαγεύουν τους μεγαλύτερους καθώς αυτοί εμπειρικά μπορούν άμεσα να καταλάβουν τον μηχανισμό πίσω από αυτά. Έτσι θα αναφέρω μόνο ένα πιο προχωρημένο κόλπο, το οποίο βασίζεται στην μέθοδο "Kruskal Count" που πήρε το όνομά της από τον μαθηματικό Martin Kruskal.

Το κόλπο 

Επειδή στο blog δεν έχουμε τραπουλόχαρτα, θα σας επιδείξω τη μέθοδο με μια άλλη προσέγγιση για καλύτερη κατανόηση. Μετα θα δούμε πως γίνεται με την τράπουλα, αν και νομίζω ότι αυτό θα γίνει προφανές νωρίτερα.

Παρακάτω θα κάνω quote ένα μικρό απόσπασμα από την αρχή του βιβλίου "Ψηφιακό Οχυρό" του Dan Brown (Εκδόσεις Λιβάνη, ISBN 960-14-1101-1). Χρησιμοποιώ ένα κείμενο που έχει εκδοθεί και όχι ένα δικό μου κειμενάκι για να μην νομίσετε ότι το κόλπο δουλεύει μόνο όταν το κείμενο αυτό είναι ειδικά προκατασκευασμένο. Δεν σας ζητώ να διαβάσετε το κείμενο, σας ζητώ να κάνετε το εξής:

1. Βάλτε ένα αριθμό στο νου σας από το 1 μέχρι το 10.
2. Στο κείμενο, ξεκινώντας από την πρώτη λέξη, μεταφερθείτε στην λέξη η οποία είναι σε σειρά ίση με τον αριθμό που βάλατε στο νου σας. π.χ. αν βάλατε στο νου σας τον αριθμό 4, πηγαίνετε στην 4η λέξη του κειμένου.
3. Στην λέξη που θα μεταφερθείτε μετρήστε πόσα γράμματα έχει. Αγνοήστε τις τελείες και τα κόμματα. Μόνο γράμματα.
4. Ο αριθμός των γραμμάτων αυτών είναι ο νέος αριθμός στον νου σας. Επαναλάβατε τα βήματα 2-4 μέχρι να τελειώσει το απόσπασμα του κειμένου.

Το κείμενο:

"Λένε ότι την ώρα που πεθαίνει ο άνθρωπος τα πάντα γίνονται ξεκάθαρα· ο Ενσέι Τακάντο καταλάβαινε τώρα ότι αυτό ήταν αλήθεια. Καθώς έπιανε σφιχτά το στήθος του και έπεφτε σφαδάζοντας στο έδαφος, συνειδητοποίησε τι φρικτό σφάλμα είχε διαπράξει. Κάποιοι περαστικοί πλησίασαν, στάθηκαν σαστισμένοι από πάνω του, προσπάθησαν να βοηθήσουν. Όμως ο Τακάντο δεν ήθελε βοήθεια - ήταν πολύ αργά για τον ίδιο."

Εφαρμόσατε την μέθοδο; Είστε έτοιμοι να βάλουμε ένα στοιχηματάκι;

Λοιπόν, άμπρα-κατάμπρα, μαντεύω ότι η τελευταία λέξη "κλειδί", πριν τελειώσει το κείμενο, ήταν η λέξη "για". Σαστίσατε;

Η εξήγηση

Ουσιαστικά, ότι αριθμό και να βάλετε στο νου σας θα καταλήξετε στην ίδια λέξη. Τι "φταίει" για αυτό; Είναι ειδικά κατασκευασμένο με κάποιο μυστικιστικό τρόπο το κέιμενο; Όχι. Η αλήθεια είναι ότι το κόλπο μπορεί να εφαρμοστεί σε κάθε απόσπασμα κειμένου στο οποίο ο αριθμός των λέξεων είναι αρκετά μεγαλύτερος από τον μέσο όρο του μήκους των λέξεων μέσα σε αυτό. Με απλά λόγια αυτό συμβαίνει επειδή, σε ένα τέτοιο απόσπασμα, αργά ή γρήγορα, με όποιον αριθμό και αν ξεκινήσατε, θα "πέσετε" πάνω στην ίδια λέξη και από εκεί και πέρα θα ακολουθήσετε την ίδια πορεία. Για παράδειγμα, κάποιος που ξεκίνησε με τον αριθμό 2, στην 2η επανάληψη του αλγορίθμου θα βρεθεί στη λέξη "που" της πρώτης γραμμής. Αλλά και κάποιος που ξεκίνησε με τον αριθμό 5 θα βρεθεί στην ίδια λέξη στην πρώτη επανάληψη. Το ίδιο και αυτός που ξεκίνησε με τον αριθμό 1, θα βρεθεί στο "που" στην δεύτερη επανάληψη. Απο την στιγμή εκείνη και μετά, είτε ξεκινήσαμε με 1, με 2 ή με 5 θα ακολουθήσουμε ακριβώς την ίδια ακολουθία λέξεων. Αρκεί λοιπόν να πάρουμε ένα αρκετά μεγάλο απόσπασμα, ώστε να "προλαβαίνουν" όλοι οι αριθμοί να μας οδηγούν, σε κάποια επανάληψη του αλγορίθμου, στην ίδια λέξη. Στο δικό μας κέιμενο, αυτό συμβαίνει για πρώτη φορά στην λέξη "πλησίασαν". Σε αυτήν την λέξη θα καταλήξετε σίγουρα, ξεκινώντας με οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ 1 και 10. Και φυσικά από εκεί και πέρα, θα ακολουθήσετε όλοι την ακολουθία "Όμως", "ήθελε" και τέλος "για".

Για μαθηματικούς και πληροφορικάριους, η επιτυχία της παραπάνω διαδικασίας βασίζεται σε μια μαθηματική αρχή για ζευγαρωτά μοντέλα Μαρκοβιανών αλυσίδων. Περισσότερα για αυτό στη συνέχεια.

Επιτέλους! Το κόλπο με την τράπουλα.

Παρουσίασα την μέθοδο Kruskal Count αρχικά με την βοήθεια του αποσπάσματος κειμένου, και όχι με τράπουλα, γιατί η εφαρμογή στο κείμενο κάνει προφανή την εξήγηση. Ακόμα και να μην σας έδινα την εξήγηση, αργά ή γρήγορα, θα εφαρμόζατε 2-3 φορές την μέθοδο στο ίδιο κείμενο με διαφορετικούς αρχικούς αριθμούς και θα συνειδητοποιούσατε ότι "πατάτε" στις ίδιες λέξεις.

Το γεγονός αυτό μειώνει την διασκέδαση, όταν παρουσιάζουμε το κόλπο στους φίλους μας, γιατί σαστίζουν μόνο για ελάχιστο χρόνο πριν βρουν την λύση.

Εφαρμόζοντας την μέθοδο με την βοήθεια τράπουλας (θα πούμε σε λίγο πως), όπου τον ρόλο των λέξεων του κειμένου αναλαμβάνουν τα τραπουλόχαρτα, έχουμε το πλεονέκτημα να ανακατεύουμε την τράπουλα πριν την επανάληψη της μεθόδου, δηλαδή κάτι αντίστοιχο με το να ανακατεύουμε τις λέξεις στο παραπάνω απόσπασμα πριν από κάθε νέα εφαρμογή του κόλπου.

Με αυτόν τον τρόπο, η εξήγηση δεν είναι πλέον προφανής καθώς η επανάληψη όλου του κόλπου από την αρχή, με άλλον αρχικό αριθμό, δεν θα μας κάνει να "πατήσουμε" σε ακριβώς τις ίδιες λέξεις με την προηγούμενη φορά.

Αν δεν έχετε μαντέψει ήδη πως θα εφαρμόσετε την μέθοδο με τράπουλα δεν έχετε παρά να κάνετε τα εξής:

1. Πάρτε μια τράπουλα
2. Βρείτε ένα φίλο σας, κατά προτίμηση κάποιον που ισχυρίζεται ότι πολύ εύκολα μπορεί να ξεσκεπάσει κάθε ταχυδακτυλουργικό κόλπο και να βρει πως δουλεύουν όλα τα κόλπα του Copperfield.
3. Δώστε του την τράπουλα.
4. Πείτε του να την ανακατέψει όσο θέλει και με όποιο τρόπο θέλει.
5. Πείτε του να σκεφτεί ένα αριθμό από το 1 μέχρι το 10 και να μην σας τον φανερώσει. Αυτός θα είναι ο πρώτος αριθμός κλειδί.
6. Πείτε του, κρατώντας την τράπουλα στο ένα του χέρι με τις όψεις των καρτών προς τα κάτω, να ανοίγει τα φύλλα ένα-ένα πάνω στο τραπέζι, το ένα πάνω στο άλλο, με τις όψεις των καρτών φανερές ώστε βλέπετε και οι δύο ανά πάσα στιγμή το τελευτάιο τραπουλόχαρτο που ανοίχτηκε στο τραπέζι.
7. Καθώς κάνει αυτό, και για κάθε κάρτα που κατεβάζει στο τραπέζι, να μετράει στο νου του αυξητικά ένα-ένα, ώστε για παράδειγμα, όταν ρίξει την πρώτη κάρτα να σκέφτεται το 1, όταν ρίξει την δεύτερη το 2 κ.ο.κ.
8. Αυτό να το κάνει μέχρι να φτάσει τον αριθμό κλειδί που έχει στο νου του. π.χ. αν έχει ως αριθμό κλειδί το 5, να επαναλαμβάνει το βήμα 7 μέχρι να ρίξει το πέμπτο τραπουλόχαρτο.
9. Το τραπουλόχαρτο στο οποίο "προσγειώθηκε" θα του δώσει τον νέο αριθμό κλειδί που πρέπει να έχει στο νου του. π.χ. αν αρχικά είχε σκεφτεί τον αριθμό κλειδί 5 και το πέμπτο τραπουλόχαρτο είναι το 8 κούπα, τότε ο νέος αριθμός κλειδί είναι το 8. Επειδή όμως τα τραπουλόχαρτα έχουν και φιγούρες χωρίς αριθμούς, όποτε ο φίλος μας "πέφτει" σε φιγούρα ας συμφωνήσουμε ότι η φιγούρα θα μετράει για 5.
10. Με τον νέο αριθμό-κλειδί ο φίλος μας πρέπει να συνεχίσει να ρίχνει τραπουλόχαρτα, αφού έχει φυσικά σταματήσει την μέτρηση και την έχει ξαναρχίσει από το 1. π.χ. στο παράδειγμά μας όπου ο φίλος μας ξεκίνησε με αριθμό κλειδί το 5, μέτρησε μέχρι το 5 στο μυαλό του, είδε το 8 κούπα, το καταχώρησε σαν τον νέο αριθμό κλειδί και τώρα χωρίς καθυστέρηση, ωστέ να μην καταλάβουμε ότι σταμάτησε στο 5ο τραπουλόχαρτο, ρίχνει το 6ο τραπουλόχαρτο ξεκινώντας μέσα του την αρίθμηση ξανά από το 1. Έτσι όταν θα ρίχνει το 13ο τραπουλόχαρτο στο τραπέζι, θα έχει μετρήσει μέσα του μέχρι το 8, το οποίο είναι ο δεύτερος αριθμός κλειδί. Από το 13ο τραπουλόχαρτο θα πάρει τον τρίτο αριθμό κλειδί, και ρίχνοντας το 14ο τραπουλόχαρτο θα αρχίσει την εσωτερική του αρίθμηση ξανά από το 1. Θα ακολουθήσει ομοίως.
11. Σε κάποια στιγμή η τράπουλα θα φτάνει στο τέλος της και ο φίλος σας θα έχει μείνει με ένα αριθμό κλειδί στον νου του για τον οποίο δεν θα μπορεί να εφαρμόσει το επόμενο βήμα γιατί δεν θα του φτάνουν τα τραπουλόχαρτα για να "προσγειωθεί" στην επόμενη κάρτα κλειδί. Παρόλα αυτά, για να μην προδώσει το τελευταίο τραπουλόχαρτο κλειδί, που "πάτησε", θα συνεχίσει να ανοίγει τραπουλόχαρτα στο τραπέζι μέχρι να τελειώσει η τράπουλα.

Εδώ το κόλπο τελειώνει και εσείς είστε σε θέση να του πείτε ποιό τραπουλόχαρτο, είναι το τελευταίο τραπουλόχαρτο κλειδί. Όχι μόνο δηλαδή τον τελευταίο αριθμό κλειδί, αλλά και το συγκεκριμένο τραπουλόχαρτο που τον υπέδειξε π.χ. ο Ρήγας σπαθί.

Πως θα το κάνετε αυτό; Πολύ απλά!

Όταν αρχικά ο φίλος σας βάλει ένα αριθμό στο μυαλό του, το ίδιο θα κάνετε και εσείς. Και καθώς ο φίλος σας θα κάνει την διαδικασία, ανοίγοντας τις κάρτες στο τραπέζι μια-μια, σιωπηλά και χωρίς να κολλάει σε συγκεκριμένες κάρτες, το ίδιο θα κάνετε και εσείς με την μόνη διαφορά ότι θα έχετε αρχίσει με διαφορετικό αριθμό κλειδί.

Όπως εξηγήσαμε παραπάνω, το πιθανότερο είναι ότι σε κάποιο σημείο και μετά θα ακολουθείτε το ίδιο μοτίβο επιλογής αριθμού κλειδιού.

Δείτε, κάνοντας κλικ στην εικόνα δεξιά, πως επιλέγοντας σαν αρχικό αριθμό κλειδί είτε το 1(μπλε), είτε το 2(μωβ), είτε το 3(πράσινο) θα καταλήξετε στο ίδιο αποτέλεσμα. Φυσικά παρότι είναι σημειωμένες στην εικόνα μόνο οι ακολουθίες για αρχικό αριθμό κλειδί 1,2 και 3 μπορείτε να δείτε εύκολα ότι θα καταλήξετε στο 4μπαστούνι με οποιοδήποτε αρχικό αριθμό κλειδί και αν επιλέξετε μεταξύ 1 και 10.

Φυσικά στην περίπτωση της χρήσης της τράπουλας, υπάρχει πιθανότητα λάθους, γιατί ενώ στο κείμενο μπορούμε να επιλέξουμε ένα κατάλληλα μεγάλο απόσπασμα κειμένου ώστε να έχουμε σίγουρα αποτελέσματα, στην τράπουλα αντιμετωπίζουμε το πρακτικό όριο των 52 καρτών.

Υπάρχουν ωστόσο δύο πράγματα που μπορείτε να κάνετε ώστε να αυξήσετε σημαντικά τις πιθανότητες επιτυχίας της μεθόδου:

1. Εσείς να ξεκινάτε πάντα με τον αριθμό κλειδί 1. Όσο μικρότερος ο δικός σας αρχικός αριθμός κλειδί τόσο μεγαλύτερες οι πιθανότητες επιτυχίας.
2. Αντιστοιχήστε ένα μικρό αριθμό στις φιγούρες. Εμείς προτείναμε το 5 αλλά να γνωρίζεται ότι όσο μικρότερος ο αριθμός που αντιστοιχίζετε στις φιγούρες τόσο μεγαλύτερες οι πιθανότητες επιτυχίας σας.

Περισσότερα

Αν έχετε περισσότερο ενδιαφέρον για το "φαινόμενο" Kruskal Count μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ ένα paper που αναλύει πλήρως τις πιθανότητες επιτυχίας. Απαραίτητες οι γνώσεις μεθόδων εφαρμοσμένων μαθηματικών.